Exercícios: Números Complexos

Um pouco de história

No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.

Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .

Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i

Potências de i :
i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i² . i = -i
i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1
i⁵ = i⁴ . i = 1.i = i
i⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = -1
i⁷ = i⁶ . i = -i , etc. 

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:,

i⁴ⁿ = i^r onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4). 

Exemplo: Calcule i²⁰⁰¹
Dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i²⁰⁰¹ = i¹ = i . 

NÚMERO COMPLEXO,

 

Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: 

z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária . 

Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)

w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)

u = 100i ( a = 0 e b = 100) 

NOTAS:

a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .
Ex: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .

1º)O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i
b) 1 + 31i
c) 29 + 11i
d) 29 - 11i
e) 29 + 31i
 

2º)Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i
b) -i + 1
c) i - 1
d) i + 1
e) -i

3º) (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)⁴ é um número real?

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) infinitos

4º)04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero
b) i
c) -i
d) 1
e) -1

5º)05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )^-2 é igual a:

a) 1
b) -i
c) 2i
d) -i/2
e) i/2

6º) 06. A potência (1 - i )¹⁶ equivale a:

a) 8
b) 16 - 4i
c) 16 - 16i
d) 256 - 16i
e) 256

7º)07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z₁ . z₂|² = 10 então x é igual a: 

a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1

8º)08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é:

a) -1
b) -i
c) i
d) i4
e) i5
CLIQUE EM MAIS INFORMAÇÕES PARA TERDES ACESSO ÀS RESPOSTAS



gabarito 

01. C	02. C	03. C	04. A
05. E	06. E	07. E	08. D

9º)